Все о треугольниках

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Примеры решения задач

Выведенные формулы можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Для понимания, как их следует использовать, следует рассмотреть несколько примеров.

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

• Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
• Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
• Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
• Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Описанная и вписанная окружности

Дан некоторый равноугольный треугольник. Известно, что разница между радиусами описанной и вписанной окружностей составляет 3 см. Следует найти площадь фигуры.

На первый взгляд может показаться, что нахождение решения этой задачи требует проведения некоторых промежуточных вычислений, но это не так. Если вспомнить, что радиус описанной окружности R ровно в 2 раза больше величины r, то их разница является не чем иным, как самим радиусом вписанной окружности r. Для получения ответа на задачу следует всего-навсего воспользоваться известной формулой и вычислить S:

S = 3*30,5 *r 2 = 46,765 см 2 .

Тетраэдр и его поверхность

Тетраэдр является объемной фигурой, которая ограничена четырьмя гранями, являющимися равноугольными треугольниками. Необходимо определить площадь поверхности этой геометрической фигуры, если известно, что ее объем составляет 100 см 3 .

Чтобы посчитать необходимую площадь, следует найти эту величину всего лишь для одного равностороннего треугольника, а затем полученное число умножить на 4. Из курса стереометрии известно, что объем тетраэдра рассчитывается по следующей формуле:

V = 20,5 /12*a 3 .

Отсюда можно получить длину стороны a:

a = (12*V/20,5)^(1/3).

Теперь можно применить формулу для расчета площади S через a:

S = 30,5/4*a 2 = 38,81 см 2 .

Получилась площадь одной грани тетраэдра. Поскольку объемная фигура состоит из четырех одинаковых треугольников, то площадь его поверхности St составит:

St = 4*S = 155,24 см 2 .

Таким образом, высокая симметрия равностороннего треугольника позволяет рассчитывать его площадь, зная всего один линейный параметр фигуры. Чаще всего таковым является высота, сторона основания или радиусы вписанной и описанной окружностей.

Треугольник с равными сторонами

Каждый школьник, в каком бы классе он ни учился, знает, что собой представляет треугольник. Он является самой простой замкнутой фигурой на плоскости и в пространстве, поскольку образован тремя отрезками (четырьмя ограничены следующие по сложности за ним фигуры: прямоугольник, квадрат, параллелограмм и т. д. ).

Состоит он из трех сторон, которые определяют 3 его угла (отсюда и название геометрического объекта). Для определения значений углов в градусах следует при решении задач использовать теорему о равенстве их суммы — 180

При этом неважно, к какому типу относится сама фигура (равнобедренный, прямоугольный и т. д

), теорема остается справедливой всегда.

Исходя из названия, равносторонний треугольник — плоская фигура, все 3 стороны которой равны между собой. Для нее являются справедливыми следующие свойства:

• Все 3 угла равны между собой и составляют 60 градусов, поэтому его также называют равноугольным. Это утверждение справедливо в обратную сторону: если все углы треугольника составляют 60 градусов, он является равносторонним.
• Медиана, биссектриса и высота совпадают друг с другом, то есть любая из этих линий будет делить угол пополам, противоположную сторону на 2 равные части и будет перпендикулярна ей одновременно.
• Наличие трех осей симметрии. Все они совпадают с соответствующими медианами, биссектрисами, высотами. Оси пересекаются в точке, которая является геометрическим и массовым центром фигуры. Повороты на 0, 120, 240 и 360 градусов вокруг этой точки треугольника будут переводить его самого в себя, то есть являются операциями симметрии.
• Любые 2 рассматриваемых треугольника являются подобными. Этот вывод следует из равенства их трех углов.

Определение треугольника и его характеристики

Стороны треугольника обозначаются буквами a, b и c, а углы обозначаются буквами A, B и C, соответственно. Сумма углов треугольника всегда равна 180 градусов.

Периметр треугольника – сумма длин его сторон. Площадь треугольника можно вычислить по различным формулам, в зависимости от известных данных. Например, для треугольника со сторонами a, b и c, площадь можно вычислить по формуле Герона:

Формула Герона:
s = (a + b + c) / 2	Полупериметр треугольника
S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))	Площадь треугольника

Треугольники могут быть различных типов в зависимости от длин сторон и величины углов. Существует несколько основных типов треугольников:

Тип треугольника	Описание
Равносторонний треугольник	Все стороны равны между собой
Равнобедренный треугольник	Две стороны равны между собой, а третья сторона отличается
Прямоугольный треугольник	Один из углов треугольника равен 90 градусов
Остроугольный треугольник	Все углы треугольника меньше 90 градусов
Тупоугольный треугольник	Один из углов треугольника больше 90 градусов

Зная длины сторон и значения углов треугольника, можно определить его тип и вычислить его характеристики, такие как периметр и площадь. Знание этих характеристик позволяет решать задачи по геометрии и строительству, а также проводить анализ различных объектов и форм.

Фактчек

• Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла или, другими словами, угол между плоскостями. 
• Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. За угол между плоскостями принимают острый угол, образованный этими плоскостями. Если угол между плоскостями равен 90°, то такие плоскости перпендикулярны. 
• Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо построить проекцию прямой на плоскость и найти угол между прямой и ее проекцией. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними будет равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними будет равен 90°. 
• Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся в плоскости прямым. 
• Теорема о трех перпендикулярах гласит, что если наклонная прямая а к плоскости а перпендикулярна прямой b в этой плоскости, то и проекция прямой а на плоскость а перпендикулярна к прямой b. 

Способы определения грани треугольника

Грань треугольника — это одна из его сторон, ограниченная вершинами. Определить грань можно несколькими способами:

1. По заданным вершинам треугольника. Если известны координаты вершин треугольника в пространстве, то грани можно определить как отрезки, соединяющие пары вершин.
2. По длинам сторон треугольника. Если известны длины всех сторон треугольника, то грань можно определить как отрезок с наибольшей длиной. Остальные две стороны будут служить ее продолжением.
3. По углам треугольника. Если известны все углы треугольника, то грань можно определить как сторону, противолежащую наибольшему углу. Остальные два угла будут лежать по обе стороны от этой стороны.

Важно отметить, что данные методы применимы только к треугольникам. Если речь идет о многоугольнике с более чем тремя вершинами, то понятие грани становится более сложным и может зависеть от конкретной формы многоугольника

Основные формулы

Для каждого треугольника существует набор формул, с помощью которых можно определить его элементы. Чаще всего приходится выяснять длины сторон, площадь, высоты и периметр. При этом если известны боковые грани, можно найти практически любые остальные параметры.

Вокруг правильной фигуры можно описать круг, причём окружность можно и вписать в середину. Что интересно, их центры совпадут между собой и с местом пересечения высот. В этом случае радиус внешнего круга равняется R = (a * √‎3) / 3 = a / 2 * sin (a), а внутреннего: r = (a * √‎3) / 6 = R / 2. Чтобы найти высоту, зная радиус, используют выражение: h = (3 *R) / 2. Кроме этой формулы, довольно часто применяют равенство, связывающее сторону и перпендикуляр: h = (a * √‎3) / 2.

Доказательство верности формулы для нахождения радиуса вписанной окружности можно построить исходя из выражения, справедливого к равнобедренной фигуре: r = b / 2 √(‎(2 a — b) / (2 a + b)). Так как стороны равны, то a = b. Получается, что r = a / 2 √‎(2a — a) / (2a + a) = (a / 2) * √‎(1 / 3) = a / (2 * √‎3) = (a √‎3) / 6.

Чтобы определить длину стороны, нужно знать высоту и теорему Пифагора. Согласно ей, квадрат гипотенузы находится как сумма квадратов высоты и длины разделённого основания. Применяя теорему к правильной фигуре, можно записать: AB2 = h2 + (AB / 2)2. Это равенство решают следующим образом: AB2 = h2 + AB2 / 22. Выражение можно преобразовать в вид: (3a2 / 4) = h 2 → a 2 = (4 * h2) / 3 → a 2 = √‎((4 * h2) / 3) → a = (2 * h) / √3.

Из других существующих формул можно перечислить те, что чаще всего применяют при решении примеров:

• Площадь. Находят из выражения: S = (a 2 * √3) / 4. Вывести эту формулу довольно просто. Если взять за основу, что равенство для площади верно, то исходя из свойств фигуры можно записать: S = ½ * a2 * sin 60 = ½ * a2 * √3 / 2 = (√3 / 4) * a2. Что и следовало доказать.
• Периметр. Чтобы его определить, нужно сложить длины всех сторон, но так как в правильной фигуре они равны, можно воспользоваться формулой: P = 3 * a.

Существуют ещё 2 значимые теоремы: косинусов и синусов. Согласно первой, квадрат стороны фигуры будет ранятся удвоенному произведению двух оставшихся отрезков и косинусу угла между ними, отнятому из суммы квадратов: a2 = b2 + c2 — 2 * b * c * cos (a). Согласно же второй, длины отрезков пропорциональны синусам углов, лежащих напротив: a / sin (a) = b / sin (b) = c / sinс.

Свойства плоскости

Плоскость треугольника имеет ряд свойств и характеристик, которые помогают определить ее особенности и взаимосвязь с другими объектами.

• Единственность: Каждому треугольнику соответствует только одна плоскость.
• Протяженность: Плоскость не имеет конечных размеров и простирается бесконечно во всех направлениях.
• Плоскость задается тремя точками: Любые три точки, не лежащие на одной прямой, определяют плоскость треугольника.
• Равнобедренность: Если две стороны треугольника равны, то плоскость, содержащая этот треугольник, будет симметрична относительно высоты, проведенной из вершины треугольника на основание.
• Параллельность: Если две плоскости пересекаются с одной и той же прямой, то они параллельны друг другу.

Данные свойства плоскости треугольника позволяют нам лучше понимать ее структуру и взаимодействие с другими геометрическими объектами.

Треугольник и его виды. Элементы треугольника

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трех точек, попарно соединенных между собой отрезками. Точки называются вершинами треугольника, отрезки – сторонами треугольника. Треугольник имеет три вершины и три стороны. Стороны треугольника обозначаются часто малыми буквами, которые соответствуют заглавным буквам, обозначающим противоположные вершины.

Внутренние углы треугольника – это углы, образованные его сторонами. Угол А – это угол, образованный сторонами АВ и АС.

Виды треугольников по углам:

1. Остроугольный треугольник – это треугольник, все углы которого острые (то есть градусная мера каждого угла меньше 90º).
2. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол прямой (то есть имеет градусную меру 90º).
3. Тупоугольный треугольник – это треугольник, у которого один угол тупой (то есть имеет градусную меру больше 90º).

Виды треугольников по сторонам:

1. Равносторонний треугольник (или правильный треугольник) – это треугольник, у которого все три стороны равны.
2. Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны.
3. Разносторонний треугольник – треугольник, все стороны которого имеют разную длину.

Элементы треугольника

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы, которые пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения называется центроидом или центром тяжести треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 1:2, считая от основания медианы.

Биссектриса – это отрезок, делящий угол треугольника на две равные части. Любой треугольник имеет три биссектрисы, которые пересекаются в одной точке.

Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. Любой треугольник имеет три высоты, которые пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника.

Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух его сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине: \(MN=\frac12AC; \ MN\parallel AC\) .

Серединный перпендикуляр к отрезку – прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. Три срединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке, являющейся центром описанного круга.

Основные свойства треугольников

1. Против большей стороны лежит больший угол, и наоборот.
2. Против равных сторон лежат равные углы, и наоборот. В частности, все углы в равностороннем треугольнике равны.
3. Сумма углов треугольника равна 180º. Из двух последних свойств следует, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60º.
4. Продолжая одну из сторон треугольника, получаем внешний угол. Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с ним.
5. Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше их разности (a b – c; b a – c; c a – b).

Один из внешних углов треугольника равен 65 \(^\circ\) . Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 6:7. Найдите наибольший из них.

Внутренние углы треугольника относятся как 3:7:8. Найдите отношение внешних углов треугольника.

Чему равна градусная мера одного из углов прямоугольного треугольника?

Если в треугольнике один угол больше суммы двух других углов, то он

Если в треугольнике один внешний угол острый, то этот треугольник

Периметр равнобедренного треугольника равен 11 см, а основание равно 3 см. Найдите боковую сторону треугольника.

Треугольник: определение и формула

Треугольник — это геометрическая фигура, состоящая из трех отрезков (сторон), которые соединены своими концами (вершинами).

Формула, позволяющая найти площадь треугольника, зависит от известных данных о треугольнике. Рассмотрим несколько случаев:

1. Если известны длины сторон треугольника:

   Пусть a, b и c — длины сторон. Для вычисления площади можно воспользоваться формулой Герона:

   S = √(p * (p — a) * (p — b) * (p — c)),

   где p — полупериметр треугольника, вычисляется по формуле: p = (a + b + c) / 2.

2. Если известны длины одной стороны и высота, опущенная на нее:

   Пусть a — длина стороны, h — высота, опущенная на сторону a. Тогда площадь треугольника можно найти по формуле:

   S = (a * h) / 2.

3. Если известны длины двух сторон и угол между ними:

   Пусть a и b — длины сторон, α — угол между ними. Тогда площадь треугольника можно найти по формуле:

   S = (a * b * sin(α)) / 2.

Зная формулу для вычисления площади треугольника, можно решать различные задачи, связанные с этой геометрической фигурой.

Решение задач

Чтобы уметь решать различные задания, связанные с треугольником, нужно помнить всего несколько формул. Но понадобится знать, что углы в фигуре равны друг другу и составляют 60 градусов. Часто придётся применять и теорему Пифагора. Вот некоторые из типовых заданий, используемые при обучении школьников в седьмом классе:

1. Какой будет радиус вписанной в правильный треугольник окружности, если его высота равняется 9 см. Зная свойство фигуры, решить задачу можно за пару секунд. Так как радиус равен 1/3 высоты, ответом на задачу будет: r = h / 3 = 9 / 3 = 3 см.
2. Сторона равностороннего треугольника равняется корню из трёх. Определить диаметр описанной окружности. Известно, что отношение синуса к противолежащему углу составляет 2R. Следовательно: R = a / 2 * sin (a) = √‎3 * 2 / 2 * √‎3 = 1.
3. Вокруг треугольной фигуры со стороной 8 √‎3 описан круг. Узнать его радиус. Эта задача в 2 действия. Используя формулу для нахождения вписанного радиуса и определение r = R / 2 можно записать: R = 2 * a * √‎3 / 6 = 2 * 8 * √‎3 * √‎3 / 6 = 2 * 4 = 8.
4. Пусть имеется квадрат, вокруг которого описана окружность. В ней так же располагается правильный треугольник. Периметр треугольной фигуры равен 9 √‎ 6. Нужно вычислить сумму всех сторон квадрата. На первом шаге необходимо определить длину боковой грани треугольника. Найти её можно по формуле: a = 3 √‎6. Теперь возможно рассчитать радиус описанной окружности: a = R * √‎3. Выполнив подстановку, найти ответ несложно: R = 3 √‎6 / √‎3 = 3 * √‎2. На третьем шаге можно выяснить, чему равняется сторона четырёхугольника. В этом поможет равенство: 3 √‎2 = (n √‎2) / 2. Отсюда n = 6. Значит, периметр квадрата равняется: P = 4 * 6 = 24.

Следует отметить, что выучить наизусть все формулы сложно, поэтому обычно используют логическое мышление и теоремы синусов-косинусов. Учитывая, что любой угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусов практически любую формулу вывести можно самостоятельно.

Роль боковых граней в пространстве треугольника

Боковые грани в треугольнике могут быть представлены в виде треугольников, образованных путем соединения конечных точек сторон треугольника. Эти боковые треугольники имеют свои стороны и углы, которые могут иметь отношения с основным треугольником. Например, боковые треугольники могут быть равносторонними, равнобедренными или разносторонними, в зависимости от свойств основного треугольника.

Боковые грани в пространстве треугольника создают объемную фигуру, называемую пирамидой, когда их стороны пространственно соединены. Боковые грани могут служить базисом для определения высоты треугольника, которая является отрезком, проходящим от вершины треугольника перпендикулярно основанию или его продолжению. Боковые грани также могут быть использованы для определения других характеристик треугольника, таких как площадь, объем или длину его сторон.

Таким образом, боковые грани в пространстве треугольника имеют свою уникальную роль, которая важна для понимания его пространственной структуры. Они помогают определить свойства треугольника и считаются важными элементами его геометрической конфигурации.

Плоскости, образуемые гранями треугольника

Первая грань треугольника – это основание. Она образуется соединением двух вершин треугольника стороной. Основание может быть любой из трех сторон треугольника.

Вторая и третья грани треугольника – это боковые стороны. Они образуются соединением вершин треугольника друг с другом и с основанием.

Каждая грань треугольника представляет собой плоскость. Плоскость – это бесконечная поверхность, которая не имеет объема и описывается двумя направлениями – шириной и высотой.

Грани треугольника образуются в результате пересечения плоскостей, проходящих через стороны и вершины треугольника. Все три грани треугольника пересекаются в одной точке – вершине треугольника.

Плоскости, образуемые гранями треугольника, могут быть параллельными, пересекающимися или совпадающими. В зависимости от формы и размеров треугольника, плоскости граней могут иметь различные углы наклона и положения относительно друг друга.

Знание о плоскостях, образуемых гранями треугольника, важно для понимания и решения геометрических задач, а также для построения трехмерных моделей и изображений треугольников в компьютерной графике и дизайне

Плоскость, образуемая гранями треугольника

Плоскость, образуемая гранями треугольника, представляет собой плоскую поверхность, на которой лежат все три стороны треугольника. Эта плоскость проходит через все три вершины треугольника и содержит все его грани.

Если взять любые две вершины треугольника и соединить их отрезком, то этот отрезок будет лежать на плоскости, образуемой гранями треугольника.

Определение	Свойства
Плоскость, образуемая гранями треугольника	– плоская поверхность– содержит все три стороны треугольника– проходит через все три вершины треугольника

Множество плоскостей, образуемых гранями треугольника

Таким образом, множество плоскостей, образуемых гранями треугольника, имеет связь с самим треугольником – они образуют его структурную основу. Каждая плоскость, образованная гранью треугольника, является независимым элементом, который вместе с другими плоскостями создает трехмерную форму треугольника.

Множество плоскостей треугольника может быть использовано для анализа геометрических свойств треугольника, таких как его площадь, периметр и углы. Плоскости, проходящие через грани треугольника, могут быть использованы для определения положения его вершин и проведения дополнительных линий и отрезков.

Особые линии и точки

Медиана, высота и биссектриса — 3 замечательные линии любого треугольника. Представляют они собой внутренние отрезки, построенные из углов на противоположные стороны. Линия, соединяющая вершину с серединой противоположной грани, называется медианой. Луч, разделяющий угол на 2 равные части — это биссектриса, а перпендикуляр, построенный к стороне — высота.

В любом правильном треугольнике можно начертить 3 отрезка. Если отложить медиану, а потом биссектрису и высоту, можно заметить, что эти линии совпадут. Эта особенность и есть замечательным свойством равностороннего многоугольника, то есть если в любой другой трёхугольной фигуре можно построить 12 особых линий, то в рассматриваемом только 3.

Доказать это утверждение можно следующим образом: пусть имеется треугольник АВС, в котором проведена высота ВH. Далее, рассуждения нужно построить так:

Равенство треугольников

Теорема 19. Два треугольника равны, если три стороны одного соответственно равны трем сторонам другого.

Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 43) стороны равны

AB = DE, BC = EF, AC = DF

Требуется доказать, что ∆ABC = ∆DEF.

Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, сторону DF на сторону AC точкой D на точку A. По равенству сторон AC и DF точка F упадет на точку C.

Чтобы доказать, что точка E упадет на точку B докажем, что она не может упасть ни внутри, ни вне, ни на одну из сторон треугольника.

a) Положим, что точка E упадет внутри треугольника в точку E’, тогда треугольник DEF примет положение треугольника AE’C, DE займет положение линии AE’ и EF положение линии E’C, следовательно,

AE’ = DE, E’C = EF.

Линия ABC, будучи внешней ломаной, больше линии AE’C внутренней ломаной, следовательно,

AB + BC > AE’ + E’C

Заменяя AE’ и E’C равными им сторонами DE и EF, имеем:

AB + BC > DE + EF,

но AB = DE, следовательно, BC > EF, что противоречит данным условиям. Итак, точка E не может упасть внутри треугольника.

b) Положим, точка E упала вне треугольника в точку E». В этом случае ∆AE»C = ∆DEF и тогда

AE» = DE, CE» = EF

Обозначим букой O точку пересечения линий AE» и BC. Из чертежа видно, что

AO + BO > AB
CO + OE» > E»C

Сложив эти неравенства, имеем:

AO + BO + CO + OE» > AB + E»C

Так как BO + CO = BC, AO + OE» = AE», то

BC + AE» > AB + CE»

Здесь AE» = DE, CE» = EF, следовательно,

BC + DE > AB + EF

но AB = DE.

Вычтя по равной величине из обоих частей последнего неравенства, получаем:

BC > EF

что противоречит данным условиям. Итак, точка E не может упасть вне треугольника.

c) Точка E не может упасть на одну из сторон треугольника в точку E»’, ибо стороны DC и AB равны. Точно также если бы E упала в точку O, то выходило бы, что BC > OC, но OC = EF, следовательно, BC > EF, что противоречит условию.

Итак, точка E должна непременно упасть в точку B, следовательно, при наложении сторона DE совпадет со стороной AB, а сторона EF со стороной BC и треугольник DEF с треугольником ABC.

Из равенства треугольников следует, что все остальные части их равны, т. е.

∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

Теорема 20. Два треугольника равны, когда они имеют по равному углу, содержащемуся между равными сторонами.

Дано. В двух треугольниках ABC и DEF (черт. 44)

AB = DE, AD = DF, ∠BAC = ∠EDF

Требуется доказать, что ∆ABC = ∆DEF.

Примечание. Иногда указывают равные части на чертеже, отмечая их одинаковыми значками.

Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, сторону DF на сторону AC, точкой D на точку A; тогда по равенству линий DF и AC точка F упадет в точку C и по равенству углов A и D линия DE пойдет по линии AB; по равенству линий DE и AB точка E упадет на точку B. Если E и F две точки линии EF совпали с B и C двумя точками линии BC, то и вся линия EF совпадет с линией BC, и треугольник DEF совпадет с треугольником ABC. Отсюда следует, что и все остальные части треугольников равны, т. е.

BC = EF, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F.

Теорема 21. Два треугольника равны, если сторона и два лежащие на ней угла одного равны стороне и двум лежащим на ней углам другого треугольника.

Дано. В треугольниках ABC и DEF (черт. 44)

∠A = ∠D, ∠C = ∠F, AC = DF

Требуется доказать, что ∆ABC = ∆DEF.

Доказательство. Наложим треугольник DEF на треугольник ABC, стороной DF на AC, точкой D на A, тогда по равенству сторон AC и DF точка F упадет на точку C. По равенству углов A и D линия DE пойдет по линии AB и по равенству углов C и F линия FE пойдет по линии CB. Так как линия FE и DE совпадут с линиями CB и AB, то и точка E непременно совпадет с точкой B, ибо две прямые линии пересекаются в одной точке, следовательно два треугольника равны (ЧТД).

Из того, что равные треугольники совмещаются при наложении всеми своими частями вытекает следствие. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и наоборот.

Соответственные части треугольников. В двух равных треугольниках равные углы и равные стороны называются соответственными углами и сторонами.

Элементы пирамиды

К этим элементам относятся грани или стороны фигуры, ее ребра, вершины, высота и апофемы.

Как было показано, все стороны треугольной пирамиды являются треугольниками. Их число равно 4 (3 боковых и один в основании).

Вершины — это точки пересечения трех треугольных сторон. Не сложно догадаться, что для рассматриваемой пирамиды их 4 (3 принадлежат основанию и 1 — вершина пирамиды).

Ребра можно определить, как линии пересечения двух треугольных сторон, или как линии, которые соединяют каждые две вершины. Количество ребер соответствует удвоенному числу вершин основания, то есть для треугольной пирамиды оно равно 6 (3 ребра принадлежат основанию и 3 ребра образованы боковыми гранями).

Высота, как выше было отмечено, является длиной перпендикуляра, проведенного из вершины пирамиды к ее основанию. Если из этой вершины провести высоты к каждой из сторон треугольного основания, то они будут называться апотемами (или апофемами). Таким образом, пирамида треугольная имеет одну высоту и три апофемы. Последние равны друг другу для правильной пирамиды.