Математика для чайников. матрицы и основные действия над ними

Матрицы в математических моделях

В математических моделях матрицы используются для описания различных взаимодействий и зависимостей между элементами системы. Например, матрица смежности позволяет определить связи между вершинами в графе, а матрица коэффициентов – описать зависимость между переменными в системе уравнений.

Одной из важных операций, которую можно выполнять с матрицами, является умножение. Умножая матрицы, можно получить новую матрицу, которая содержит информацию о взаимодействии элементов исходных матриц.

Матрицы также играют значительную роль в линейной алгебре и теории вероятностей. Они позволяют формализовать и решать различные типы задач, связанных с линейными системами уравнений, преобразованиями координат, статистическим анализом данных и прочими проблемами в математическом моделировании.

Важно отметить, что матрицы также находят широкое применение в компьютерных науках и программировании. Матрицы используются для описания и обработки данных в различных алгоритмах, таких как поиск путей, решение систем линейных уравнений, графическое моделирование и других вычислительных задачах

Пример матрицы
Элементы
Матрица А

a₁₁
a₁₂
a₁₃

a₂₁
a₂₂
a₂₃

a₃₁
a₃₂
a₃₃

Анализ матриц позволяет получить информацию о свойствах системы и ее элементах. Использование матриц в математических моделях значительно упрощает решение сложных задач и позволяет получить более точные и надежные результаты.

Свойства диагональной матрицы

У диагональной матрицы есть несколько свойств:

1. Каждый элемент на главной диагонали является собственным значением матрицы.

2. Произведение двух диагональных матриц будет также диагональной матрицей, где каждый элемент получается путем умножения соответствующих элементов исходных матриц.

3. Сумма двух диагональных матриц будет также диагональной матрицей, где каждый элемент получается путем сложения соответствующих элементов исходных матриц.

4. Умножение диагональной матрицы на вектор — это то же самое, что и поэлементное умножение элементов вектора на соответствующие элементы на главной диагонали матрицы.

5. Если все элементы на главной диагонали диагональной матрицы равны нулю, то такая матрица называется вырожденной.

Сложение и вычитание диагональных матриц

Пусть у нас есть две диагональные матрицы A и B размерности n × n. Для сложения или вычитания этих матриц мы просто складываем или вычитаем соответствующие элементы на главной диагонали:

a11	…
a22	…
a33	…
…	…	…	…	…
…	ann

b11	…
b22	…
b33	…
…	…	…	…	…
…	bnn

Тогда суммой A и B будет новая диагональная матрица C, в которой каждый элемент c_ii равен сумме a_ii и b_ii:

c11	…
c22	…
c33	…
…	…	…	…	…
…	cnn

Вычитание диагональных матриц работает аналогичным образом. Для каждого элемента на главной диагонали мы вычитаем соответствующий элемент из другой матрицы.

Таким образом, сложение и вычитание диагональных матриц являются простыми и понятными операциями, которые могут быть выполнены без каких-либо сложностей.

Умножение диагональной матрицы на скаляр

Для умножения диагональной матрицы на скаляр необходимо все элементы главной диагонали матрицы умножить на указанное число. Главная диагональ — это линия элементов, идущих от левого верхнего угла до правого нижнего угла матрицы.

Процесс умножения диагональной матрицы на скаляр можно представить следующим образом:

1. Возьмем диагональную матрицу, например:

Выберем заданное число, например, α (альфа), которое будет скаляром:

Умножим каждый элемент главной диагонали на заданное число:

Таким образом, результатом умножения диагональной матрицы на скаляр будет новая диагональная матрица, в которой каждый элемент главной диагонали умножен на заданное число.

Умножение диагональных матриц

Диагональная матрица представляет собой матрицу, у которой все значения элементов, кроме тех, что находятся на главной диагонали, равны нулю. Главная диагональ матрицы – это линия элементов, которые находятся от верхнего левого угла до нижнего правого угла.

Для умножения двух диагональных матриц необходимо перемножить соответствующие элементы на главной диагонали каждой матрицы и записать результат в новую матрицу. Размеры полученной матрицы совпадают с исходными матрицами.

Умножение диагональных матриц является вычислительно эффективной операцией, так как оно не требует умножения всех элементов в матрицах, а только ненулевых элементов на главной диагонали. Также результат умножения диагональных матриц будет также диагональной матрицей с элементами, равными произведениям соответствующих элементов на главной диагонали исходных матриц.

Теория коммутирующих матриц

Коммутирующие матрицы — это матрицы, которые могут быть перемножены в любом порядке без изменения результата. В математике коммутативность является основным свойством операции умножения. Однако в алгебре, и в частности в линейной алгебре, это свойство не всегда выполняется для матриц.

Для данной темы о коммутирующих матрицах важно знать, что произведение двух матриц А и В обозначается как АВ. Если произведение АВ равно произведению ВА (AB=BA), то говорят, что матрицы А и В коммутируют

Существует основная теорема о коммутирующих матрицах, которая гласит: для квадратных матриц А и В (размерностью n x n), матрицы А и В коммутируют тогда и только тогда, когда они обладают общим набором собственных векторов. Собственные векторы — это ненулевые векторы, на которые матрица действует просто умножением на константу.

Таким образом, если у матриц А и В существует общий набор собственных векторов, то значит эти матрицы коммутируют. И наоборот, если матрицы А и В коммутируют, то у них есть общий набор собственных векторов.

Важно отметить, что коммутативность матриц — это необходимое, но не всегда достаточное условие. Именно поэтому в линейной алгебре существуют различные методы исследования коммутативности матриц и нахождения матриц, которые коммутируют с заданной матрицей

Методы для поиска коммутирующих матриц включают в себя методы алгебры, анализа, теории вероятностей и другие. В основе этих методов лежит исследование свойств матриц и их взаимодействий. Также важным инструментом в таких исследованиях являются собственные значения и собственные векторы матриц.

Практическое применение матриц в механике и финансах

Матрицы широко используются в механике для решения проблем, связанных с динамикой тел и движением систем. Матричные уравнения позволяют определить точный путь, скорость и ускорение объектов в пространстве.

В финансовой математике, матрицы часто используются для анализа и определения трендов на фондовом рынке. Матричные операции позволяют вычислять коэффициенты корреляции и дисперсии, делая анализ портфеля более эффективным и точным.

Также матрицы используются при прогнозировании экономических показателей и определении оптимальных стратегий инвестирования. Например, матричный анализ может помочь оптимизировать инвестиции в различные активы, с различными рисками и доходностью.

В области физики жидкости, использование матриц позволяет верифицировать экспериментальные данные и определить физические параметры жидкостей, такие как вязкость и плотность. Кроме того, матричные операции часто используются в расчетах теплопередачи и диффузии.

В целом, матрицы имеют широкое применение в науке и технике, а также в финансовых вычислениях и экономическом анализе. Понимание матричной алгебры является важным навыком в различных областях знаний и может помочь в решении многих практических задач.

Определение.

Определение.

Мы будем называть матрицей размеров \(m \times n\) совокупность \(mn\) чисел, расположенных в виде таблицы из \(m\) строк и \(n\) столбцов:
$$
\begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}& a_{2}^{1}& \ldots & a_{n}^{1}\\
a_{1}^{2}& a_{2}^{2}& \ldots & a_{n}^{2}\\
\ldots&\ldots&\ldots&\ldots\\
a_{1}^{m}& a_{2}^{m}& \ldots& a_{n}^{m}
\end{Vmatrix}\nonumber
$$
Числа, составляющие матрицу, мы будем называть элементами матрицы. Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк — её порядком. Остальные матрицы носят название прямоугольных.

Можно дать и такое определение матрицы. Рассмотрим два множества целых чисел \(I={1, 2, \ldots, m}\) и \(J={1, 2, \ldots, n}\). Через \(I \times J\) обозначим множество всех пар вида \((i, j)\), где \(i \in I\), a \(j \in J\). Матрицей называется числовая функция на \(I \times J\), то есть закон, сопоставляющий каждой паре \((i, j)\) некоторое число \(a_{j}^{i}\).

Для читателя, знакомого с программированием, заметим, что матрица — это в точности то же, что и двумерный массив.

Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры, и равны их элементы, стоящие на одинаковых местах.

Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обозначать их элементы буквами с двумя индексами. Если оба индекса расположены внизу, то первый из них обозначает номер строки, а второй — номер столбца; если один из индексов расположен сверху, как в написанной выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки. Не следует путать верхние индексы с показателями степени.

Матрицу размеров \(1 \times n\), состоящую из одной строки, мы будем называть строкой длины \(n\) или просто строкой. Матрицу размеров \(m \times 1\) называют столбцом высоты \(m\) или просто столбцом. Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными буквами.

Часто бывает удобно записывать матрицу как столбец из строк или как строку из столбцов. Пусть
$$
\boldsymbol{a}_{1}=\begin{Vmatrix}
a_{1}^{1}\\
a_{1}^{2}\\
\vdots\\
a_{1}^{m}
\end{Vmatrix},\ \boldsymbol{a}_{2}=\begin{Vmatrix}
a_{2}^{1}\\
a_{2}^{2}\\
\vdots\\
a_{2}^{m}
\end{Vmatrix},\ \ldots,\ \boldsymbol{a}_{n}=\begin{Vmatrix}
a_{n}^{1}\\
a_{n}^{2}\\
\vdots\\
a_{n}^{m}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Тогда написанную в начале матрицу можно записать в виде
$$
\begin{Vmatrix}
\boldsymbol{a}_{1}& \boldsymbol{a}_{2}& \ldots& \boldsymbol{a}_{n}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Аналогично, если \(\boldsymbol{a}^{1}=\begin{Vmatrix} a_{1}^{1}& \ldots& a_{n}^{1} \end{Vmatrix}, \ldots, \boldsymbol{a}^{m}=\begin{Vmatrix} a_{1}^{m}& \ldots& a_{n}^{m} \end{Vmatrix}\) а же матрица записывается в виде
$$
\begin{Vmatrix}
\boldsymbol{a}^{1}\\
\vdots\\
\boldsymbol{a}^{m}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$

Рассмотрим матрицу \(A\) размеров \(m \times n\) и выберем какие-нибудь \(r\) номеров строк \(i_{1}, \ldots, i_{r}\) и \(s\) номеров столбцов \(j_{1}, \ldots, j_{s}\), причем будем предполагать, что номера выбраны в порядке возрастания: \(i_{1} < i_{2} < \ldots < i_{r}\) и \(j_{1} < j_{2} < \ldots < j_{s}\). Матрицу \(A’\) размеров \(r \times s\), составленную из элементов \(A\), стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов, мы назовем подматрицей матрицы \(A\). Итак,
$$
A’=\begin{Vmatrix}
a_{j_{1}}^{i_{1}}& \ldots & a_{j_{s}}^{i_{1}}\\
\ldots&\ldots&\ldots\\
a_{j_{1}}^{i_{r}}& \ldots & a_{j_{s}}^{i_{r}}
\end{Vmatrix}.\nonumber
$$
Если матрица квадратная, то множество тех ее элементов \(a_{i}^{i}\), у которых номер строки равен номеру столбца, называется главной диагональю или просто диагональю матрицы.

Матрицы и их свойства

У матриц есть несколько важных свойств:

• Размерность: размерность матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, матрица размерности 3×2 содержит 3 строки и 2 столбца.
• Элементы: каждый элемент матрицы обозначается a_ij, где i — номер строки, j — номер столбца. Например, элемент a_2,3 обозначает элемент, находящийся во второй строке и третьем столбце.
• Определитель: определитель матрицы является числовой характеристикой, которая позволяет определить некоторые свойства исследуемой системы линейных уравнений.
• Транспонирование: транспонированная матрица получается заменой строк на столбцы и столбцов на строки исходной матрицы.

Матрицы позволяют решать различные задачи, такие как решение систем линейных уравнений, нахождение обратной матрицы, вычисление собственных значений и векторов и др.

Изучение матриц и их свойств является важной частью линейной алгебры и основой для понимания более сложных математических концепций и методов

Что такое матрица

Матрица состоит из m строк и n столбцов, где m обозначает количество строк, а n — количество столбцов. Каждый элемент матрицы записывается в ячейку таблицы и однозначно идентифицируется индексами строки и столбца.

Матрицы используются для решения систем линейных уравнений, анализа данных, моделирования и разработки алгоритмов. Они позволяют компактно описывать и оперировать с данными, упрощая сложные вычисления и алгоритмы.

Матрицы могут быть различных типов, включая квадратные, прямоугольные, симметричные, диагональные и другие. Каждый тип матрицы имеет свои особенности и свойства, которые определяют возможности и специфику их применения.

1	2	3
4	5	6
7	8	9

Приведенная выше таблица представляет собой пример матрицы размером 3×3. В данном случае, у матрицы 3 строки и 3 столбца, а элементы матрицы записаны в ячейки таблицы. Такая матрица может использоваться для множества вычислений и операций.

Свойства матриц

Один из основных параметров матрицы — это её размерность. Размерность матрицы обозначается в виде m x n, где m — это количество строк, а n — количество столбцов. Например, для матрицы размерностью 3 x 4 означает, что она имеет 3 строки и 4 столбца.

Другое важное свойство матрицы — это её элементы. Каждый элемент матрицы обозначается aij, где i — номер строки, а j — номер столбца

Например, a23 — это элемент матрицы, расположенный на 2-й строке и 3-м столбце. Элементы матрицы могут быть числами любого типа — целыми, вещественными или комплексными числами.

Матрицы могут обладать различными свойствами в зависимости от их размерности и содержимого. Например, матрицу можно транспонировать, что означает поменять строки и столбцы местами. Также матрицы могут быть симметричными, если элементы на главной диагонали совпадают с элементами на соответствующей симметричной позиции относительно главной диагонали.

Знание свойств матриц помогает в их анализе и использовании в различных областях работы с числами и данными. Определение размерности матрицы и анализ её содержимого являются важными задачами при работе с линейной алгеброй, программированием и наукоемкими задачами.

Определение размерности матрицы

Представим, что у нас имеется матрица, составленная из числовых элементов. Количество элементов в каждой строке и каждом столбце можно найти с помощью соответствующих формул:

Количество строк (m): количество элементов, разделенное на количество столбцов.

Пример: если у нас есть матрица 3×4 (3 строки и 4 столбца), и в ней всего 12 элементов, то количество строк будет равно 12 / 4 = 3.

Количество столбцов (n): количество элементов, разделенное на количество строк.

Пример: используя ту же матрицу 3×4, количество столбцов будет равно 12 / 3 = 4.

Таким образом, для определения размерности матрицы необходимо знать общее количество элементов в ней и количество строк или столбцов. Используя указанные формулы, можно легко вычислить размерность матрицы и использовать эту информацию для выполнения различных операций с матрицами.

Основные понятия алгебраической линии

В алгебраической линии существуют несколько основных понятий:

Алгебраическая кривая — это алгебраическая линия, имеющая формальное уравнение.

Степень алгебраической кривой — это наибольшая степень в ее уравнении.

Гладкая точка — это точка на алгебраической кривой, в которой у кривой нет изломов или острых углов.

Аффинная кривая — это алгебраическая кривая, которая может быть представлена уравнением вида y = f(x).

Проективная кривая — это алгебраическая кривая, которая может быть представлена уравнением вида p(x, y, z) = 0, где p(x, y, z) — однородный многочлен.

Изучение алгебраической линии включает в себя анализ ее свойств и характеристик, таких как степень кривой, ее форма, проективное пространство, наличие особых точек и других важных характеристик.

Сложение и умножение на число.

Пусть \(A\) и \(B\) — матрицы размеров \(m \times n\). Мы можем сопоставить им третью матрицу \(C\) размеров \(m \times n\), элементы которой \(c_{ij}\) связаны с элементами и матриц \(A\) и \(B\) равенствами
$$
c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\ (i=1, \ldots, m,\ j=1, \ldots, n).\label{ref1}
$$

Определение.

Матрица \(C\), определяемая по \(A\) и \(B\) формулой \eqref{ref1}, называется их суммой и обозначается \(A+B\).

Определение.

Матрица \(C\), элементы которой \(c_{ij}\) равны произведениям элементов \(a_{ij}\) матрицы \(A\) на число \(\alpha\), называется произведением \(A\) на \(\alpha\) и обозначается \(\alpha A\). Мы имеем
$$
c_{ij}=\alpha a_{ij}\ (i=1, \ldots, m,\ j=1, \ldots, n).\label{ref2}
$$

Из свойств сложения и умножения чисел легко вытекает наше первое утверждение.

Утверждение 1.

Для любых матриц \(A, B, C\) и любых чисел \(\alpha\) и \(\beta\) выполнены равенства:

• \(A+B=B+A\),
• \((A+B)+C=A+(B+C)\),
• \(\alpha(A+B)=\alpha A+\alpha B\),
• \((\alpha+\beta)A=\alpha A+\beta A\),
• \((\alpha\beta)A=\alpha(\beta A)\).

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Если \(O\) — нулевая матрица размеров \(m \times n\), то для любой матрицы тех же размеров
$$
A+O=A.\nonumber
$$

Матрицу \((-1)A\) называют противоположной матрице \(A\) и обозначают \(-A\). Она обладает тем свойством, что
$$
A+(-A)=O.\nonumber
$$

Сумма матриц \(B\) и \(-A\) называется разностью матриц \(B\) и \(A\) и обозначается \(B-A\). Мы видим, что сформулированные выше свойства линейных операций с матрицами совпадают со свойствами . Используя линейные операции, мы можем составлять из матриц одинаковых размеров \(A_{1}, \ldots, A_{k}\) и чисел \(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\), выражения вида
$$
\alpha_{1}A_{1}+\ldots+\alpha_{k}A_{k}.\nonumber
$$

Такие выражения называются линейными комбинациями матриц. Если какая-то матрица представлена как линейная комбинация других матриц, то говорят, что она по ним разложена.

Пример 1.

Пусть \(\boldsymbol{p}_{1}, \ldots, \boldsymbol{p}_{k}\), — столбцы одинаковой высоты \(n\). Тогда столбец \(\boldsymbol{q}\) той же высоты по ним разложен, если при некоторых коэффициентах \(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{k}\)
$$
\boldsymbol{q}=\alpha_{1}\boldsymbol{p}_{1}+\ldots+\alpha_{k}\boldsymbol{p}_{k},\nonumber
$$
или, в более подробной записи,
$$
\begin{Vmatrix} q^{1}\\
\vdots\\
q^{n}
\end{Vmatrix}=\alpha_{1}
\begin{Vmatrix} p_{1}^{1}\\
\vdots\\
p_{1}^{n} \end{Vmatrix}+\ldots+\alpha_{k} \begin{Vmatrix} p_{k}^{1}\\
\vdots\\
p_{k}^{n} \end{Vmatrix}.\nonumber
$$
В силу определения линейных операций это матричное равенство равносильно \(n\) числовым равенствам
$$
\begin{matrix}
q^{1}=\alpha_{1}p_{1}^{1}+\ldots+\alpha_{k}p_{k}^{1},\\
\ldots\\
q^{n}=\alpha_{1}p_{1}^{n}+\ldots+\alpha_{k}p_{k}^{n}.
\end{matrix}\nonumber
$$

Понятие диагональной матрицы

Особенность диагональной матрицы заключается в том, что ее элементы не взаимодействуют друг с другом при умножении или сложении. Это означает, что вычисление матричных операций с диагональной матрицей проще и быстрее, поскольку требуется обрабатывать только элементы на главной диагонали.

Диагональные матрицы широко применяются в различных областях науки и техники, включая линейную алгебру, теорию вероятностей, теорию графов, компьютерную графику и другие. Они позволяют эффективно решать задачи, связанные с умножением матриц, нахождением обратной матрицы, решением систем линейных уравнений и другими операциями.

Диагональные матрицы обладают рядом интересных свойств. Например, произведение двух диагональных матриц является диагональной матрицей, а обратная матрица к диагональной матрице существует только в том случае, если все элементы на главной диагонали неравны нулю. Понимание этих свойств позволяет применять диагональные матрицы в различных математических задачах с большей эффективностью.

Определение диагональной матрицы

Диагональные матрицы имеют много интересных свойств и применяются в различных областях науки и инженерии. Одно из таких свойств – умножение диагональной матрицы на вектор. Когда диагональная матрица умножается на вектор, каждый элемент вектора просто умножается на соответствующий элемент на главной диагонали. Это делает операцию умножения очень эффективной и удобной в использовании.

Диагональная матрица является специальным случаем более общего класса матриц – блочно-диагональных матриц. Блочно-диагональная матрица состоит из квадратных блоков, которые могут быть диагональными матрицами или нулевыми матрицами. Этот класс матриц также имеет свои особенности и применения в разных областях науки и техники.

Использование диагональных матриц в задачах линейной алгебры и матричных вычислений позволяет существенно сократить объем операций и упростить вычисления. Это помогает улучшить производительность и эффективность программ и алгоритмов, основанных на матричной арифметике.

Примеры диагональных матриц

Примеры диагональных матриц:

Пример 1:

2  0  0
D = 0  5  0
0  0  9

Данная матрица является диагональной, так как все элементы вне диагонали равны нулю.

Пример 2:

4   0   0   0
D =  0   7   0   0
0   0  10   0
0   0   0  13

Эта матрица также является диагональной, так как все элементы вне диагонали равны нулю.

Диагональные матрицы широко используются в линейной алгебре и математическом моделировании. Они имеют некоторые особенности, которые делают их полезными в различных приложениях.

Диагональные матрицы обладают следующими свойствами:

1. Умножение диагональной матрицы на скаляр приводит к умножению каждого элемента диагонали на этот скаляр.
2. Произведение двух диагональных матриц также является диагональной матрицей, при этом каждый элемент новой диагонали получается умножением соответствующих элементов исходных диагоналей.
3. Обратная диагональная матрица существует только тогда, когда все элементы диагонали ненулевые. При этом обратной является диагональная матрица, где каждый элемент новой диагонали равен обратному элементу соответствующего элемента исходной диагонали.

Таким образом, диагональные матрицы представляют собой важный инструмент в линейной алгебре и имеют много применений в различных областях науки и техники.

Линейная алгебра в анализе данных и машинном обучение

Инструментарий линейной алгебры позволяет производить различные операции с данными, включая нахождение зависимостей между переменными, снижение размерности данных, кластерный анализ и обработку изображений. В машинном обучении матричные операции используются в алгоритмах классификации, регрессии и кластеризации.

Линейная регрессия

Линейная регрессия – этот метод применяют для анализа связи между двумя переменными. Линейная регрессия использует матричные операции для нахождения линейной зависимости между переменными и предсказания значений одной переменной на основании другой.

Логистическая регрессия

Логистическая регрессия – при построении модели применяют метод наименьших квадратов, а при использовании метода максимального правдоподобия используют матричное умножение и обратную матрицу для нахождения оптимальных значений параметров. Кроме того, линейную алгебру используют для вычисления градиента функции потерь и для обновления параметров модели в процессе обучения.

Метод главных компонент

Метод главных компонент – используют для снижения размерности данных. С помощью матричных операций находят линейные комбинации переменных, которые максимально сохраняют информацию в данных. Это позволяет уменьшить размерность данных и упростить их анализ.

Кластерный анализ

Кластерный анализ –метод, который позволяет группировать данные по сходству. Здесь линейная алгебра используется для вычисления расстояний между объектами и для нахождения кластеров, которые максимально отличаются друг от друга.

Нейронные сети

Нейронные сети – при создании и оптимизации моделей линейную алгебру используют для вычисления весов и смещений нейронов, а в процессе обучения применяют для нахождения ошибок.

Сверточные нейронные сети

Сверточные нейронные сети – здесь линейную алгебру применяют для обработки изображений и нахождения признаков, которые используются для классификации и распознавания объектов.

Метод опорных векторов

Метод опорных векторов – применяется для нахождения границы, которая разделяет два класса. Метод используют для распознавания образов, определения категории объекта и других задач классификации.

Линейный дискриминантный анализ

Линейный дискриминантный анализ – используется для нахождения наилучших линейных комбинаций переменных, способных разделить две или более категории (группы). Применяется в машинном обучении для классификации данных.

Основные понятия

• Линейное пространство: абстрактная математическая структура, состоящая из элементов, называемых векторами, на которых заданы операции сложения и умножения на скаляр, удовлетворяющие определенным аксиомам.
• Вектор: элемент линейного пространства, обладающий размерностью и направлением.
• Скаляр: элемент, принадлежащий некоторому числовому множеству, например, множеству вещественных чисел или комплексных чисел.
• Линейная комбинация: сумма векторов, умноженных на скаляры.
• Линейная независимость: свойство системы векторов, при котором ни один из них не может быть линейной комбинацией остальных.
• Базис: минимальная линейно независимая система векторов, позволяющая представить любой вектор линейной комбинацией базисных векторов.
• Размерность: число базисных векторов в линейном пространстве.
• Линейное отображение: функция, которая сохраняет линейные операции, то есть выполняет свойство аддитивности и дистрибутивности.
• Матрица: таблица чисел, упорядоченных в виде прямоугольной сетки, где каждое число называется элементом матрицы.
• Матричное умножение: операция, в результате которой получается новая матрица, являющаяся результатом применения комбинации строк одной матрицы и комбинации столбцов другой матрицы.

Как лучше разобраться в теме

Для того, чтобы лучше понимать рассматриваемую тему, можно отправиться на специализированные IT-курсы. Там помогут:

• получить практику;
• освоить разнообразные направления математики и информационных технологий;
• обзавестись новыми полезными знакомствами;
• заниматься максимально комфортно – в удобное время, через интернет.

В конце обучения выдается сертификат, подтверждающий знания в выбранном направлении. Предложения есть как для новичков, так и для продвинутых математиков/разработчиков/системных администраторов.

Хотите освоить современную IT-специальность? Огромный выбор курсов по востребованным IT-направлениям есть в Otus!

Также, возможно, вам будет интересен следующий курс:

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$

и $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{pmatrix}$

Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_{ij} + b_{ij}$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_{11} + b_{11}$,а весь результат целиком выглядит так:

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+ b_{13} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+ b_{23} \\ a_{31}+ b_{31} & a_{32}+ b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ \end{pmatrix}$

Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_{ij} – b_{ij}$.

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые. Пример 1

Пример 1

Решите следующие матричные примеры: $A + B$; $A – B$.

$A=\begin{pmatrix} 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & 3 \\ -2 & 0 & 7 \\ \end{pmatrix}$

$B=\begin{pmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -4 & 0 & -1 \\ 0 & 7 & -3 \\ \end{pmatrix}$

Объяснение:

Действия выполняем для каждой пары элементов $a_{ij}$ и $b_{ij}$ соответственно:

$A+B=\begin{pmatrix} 0+0 & 5+3 & 2+2 \\ 1-4 & -1+0 & 3 — 1\\ -2+0 & 0+7 & 7 — 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 8 & 4 \\ -3 & -1 & 2 \\ -2 & 7 & 4\\ \end{pmatrix}$

$A-B=\begin{pmatrix} 0-0 & 5-3 & 2-2 \\ 1+4 & -1-0 & 3 + 1\\ -2-0 & 0-7 & 7 + 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 5 & -1 & 4 \\ -2 & -7 & 10 \\ \end{pmatrix}$

Как использовать методы линейной алгебры, не вдаваясь в детали

Если уровень математической подготовки разработчика оставляет желать лучшего, на помощь придут специальные библиотеки. Для большинства общих инженерных, научных и экономических задач достаточно функциональности этих библиотек:

• NumPy – предоставляет инструменты для работы с многомерными массивами. Обеспечивает обширную поддержку методов линейной алгебры, включая операции над векторами и матрицами, вычисление собственных значений и собственных векторов. Кроме того, выполняет операции над тензорами.
• SciPy – надстройка над NumPy. Предоставляет множество специализированных функций, включая решение систем линейных уравнений, операции над векторами и матрицами, сингулярное разложение и метод наименьших квадратов.
• SymPy – обеспечивает поддержку широкого спектра операций, включая операции над матрицами и векторами, а также исследование свойств матриц (например, вычисление определителей, обратных матриц и т. д.).
• Pandas – предназначена для обработки и анализа данных. Ее также можно использовать для работы с матрицами и векторами, особенно если данные представлены в виде таблиц или датафреймов.

Для целей Data Science и машинного обучения используют более сложные библиотеки:

• TensorFlow – позволяет создавать и обучать модели машинного обучения. Библиотека обеспечивает поддержку многомерных массивов и обширный набор операций линейной алгебры, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, собственных значений и собственных векторов, а также разложений матриц (QR-разложение, сингулярное разложение и т. д.). TensorFlow имеет высокую производительность благодаря выполнению расчетов на GPU.
• PyTorch – предоставляет множество инструментов для создания и обучения нейронных сетей. Она также обладает широким спектром функций линейной алгебры, аналогичных TensorFlow, включая перемножение матриц, вычисление детерминанта, решение систем линейных уравнений и разложение матриц.
• CuPy – обеспечивает поддержку матричных операций, вычисление определителя, собственных значений и собственных векторов, а также разложения матриц.

У каждой из этих библиотек есть свои преимущества – важно понимать, какие операции линейной алгебры необходимы для конкретного проекта, и какая библиотека обеспечит нужный баланс функциональности и производительности

Матрицы

Матрица — это прямоугольная таблица чисел. Её общий вид записывают так:

A =

a11	a12	.  .  .	a1n
a21	a22	.  .  .	a2n
.  .  .	.  .  .	.  .  .	.  .  .
am1	am2	.  .  .	amn

= ( a_ij ), i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Числа, составляющие матрицу, называют её элементами. Матрица, имеющая
m строк и n столбцов, называется матрицей размера m x n.

Кроме того, матрица бывает квадратной (если m = n), бывает вектором-строкой (m = 1)
или вектором-столбцом (n = 1).

У квадратной матрицы есть главная диагональ:

a11	a12	.  .  .	a1n
a21	a22	.  .  .	a2n
.  .  .	.  .  .	.  .  .	.  .  .
an1	an2	.  .  .	ann

И есть побочная диагональ:

a11	a12	.  .  .	a1n
a21	a22	.  .  .	a2n
.  .  .	.  .  .	.  .  .	.  .  .
an1	an2	.  .  .	ann

Выделяют так называемую единичную матрицу, главная диагональ которой содержит единицы, а остальные её элементы равны нулю:

E =

1	.  .  .
1	.  .  .
.  .  .	.  .  .	.  .  .	.  .  .
.  .  .	1

И нулевую матрицу:

O =

.  .  .
.  .  .
.  .  .	.  .  .	.  .  .	.  .  .
.  .  .

Эти две матрицы в матричном исчислении играют роль обычных 0 и 1 в арифметике.

Операции над матрицами

Матрицы можно складывать (вычитать), умножать на число, умножать друг на друга, транспонировать, производить над ними
элементарные преобразования, брать обратную матрицу из исходной.

Большинство этих операций можно легко выполнить!

Трудоёмкой для человека может оказаться лишь операция перемножения матриц и операция взятия обратной матрицы.
Главное, нужно просто запомнить, хотя бы на время, принцип умножения матриц. Две матрицы можно умножить друг на друга только тогда,
когда число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй:

(m x n) (можно умножить на) (n x k)

Операция умножения матриц некоммутативна:

A*B ≠ B*A

Хотя не исключают такое равенство. Произведением матрицы
A (m x n) на матрицу B (n x k)
является матрица C размера уже (m x k).
Причём, элементы матрицы C отыскиваются в общем виде по формуле:

c_ij = m∑_{r = 1} (a_ir * b_rj)

То есть для отыскания элемента матрицы C в ячейке с координатами (i, j), нужно суммировать
попарные произведения всех элементов, находящихся в i-ой строке матрицы A, с элементами в j-ом
столбце матрицы B.

У операции умножения матриц есть несколько дополнительных свойств:

1. Сочетательное свойство:
   A * (B * C) = (A * B) * C;
2. Распределительное свойство:
   A * (B + C) = A * B + A * C;(A + B) * C = A * C + B * C;
3. Произведение матрицы на единичную матрицу E:
   A * E = E * A = A;
4. Произведение матрицы на нулевую матрицу O:
   A * O = O * A = O.