Таблица символов теории множеств
| Символ | Название символа | Значение / определение | пример |
|---|---|---|---|
| {} | набор | набор элементов | A = {3,7,9,14}, B = {9,14,28} |
| | | такой, что | так что | A = { x | x ∈ , x <0} |
| A⋂B | пересечение | объекты, принадлежащие множеству A и множеству B | A ⋂ B = {9,14} |
| A⋃B | союз | объекты, принадлежащие множеству A или множеству B | A ⋃ B = {3,7,9,14,28} |
| A⊆B | подмножество | A является подмножеством B. множество A включено в набор B. | {9,14,28} ⊆ {9,14,28} |
| A⊂B | правильное подмножество / строгое подмножество | A является подмножеством B, но A не равно B. | {9,14} ⊂ {9,14,28} |
| A⊄B | не подмножество | множество A не является подмножеством множества B | {9,66} ⊄ {9,14,28} |
| A⊇B | суперсет | A является надмножеством B. множество A включает множество B | {9,14,28} ⊇ {9,14,28} |
| A⊃B | правильный суперсет / строгий суперсет | A является надмножеством B, но B не равно A. | {9,14,28} ⊃ {9,14} |
| A⊅B | не суперсет | множество A не является надмножеством множества B | {9,14,28} ⊅ {9,66} |
| 2 А | набор мощности | все подмножества A | |
| набор мощности | все подмножества A | ||
| А = В | равенство | оба набора имеют одинаковые элементы | A = {3,9,14}, B = {3,9,14}, A = B |
| А в | дополнять | все объекты, не принадлежащие множеству A | |
| А ‘ | дополнять | все объекты, не принадлежащие множеству A | |
| А \ Б | относительное дополнение | объекты, принадлежащие A, а не B | A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A \ B = {9,14} |
| AB | относительное дополнение | объекты, принадлежащие A, а не B | A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A — B = {9,14} |
| A∆B | симметричная разница | объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение | A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A ∆ B = {1,2,9,14} |
| A⊖B | симметричная разница | объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение | A = {3,9,14}, B = {1,2,3}, A ⊖ B = {1,2,9,14} |
| a ∈A | элемент, принадлежит | установить членство | A = {3,9,14}, 3 ∈ A |
| x ∉A | не элемент | нет установленного членства | A = {3,9,14}, 1 ∉ A |
| ( а , б ) | упорядоченная пара | сборник из 2-х элементов | |
| A × B | декартово произведение | множество всех упорядоченных пар из A и B | |
| | A | | мощность | количество элементов множества A | A = {3,9,14}, | A | = 3 |
| #A | мощность | количество элементов множества A | A = {3,9,14}, # A = 3 |
| | | вертикальная полоса | такой, что | А = {х | 3 <х <14} |
| ℵ | алеф-нуль | бесконечная мощность множества натуральных чисел | |
| ℵ 1 | алеф-он | мощность множества счетных порядковых чисел | |
| Ø | пустой набор | Ø = {} | A = Ø |
| универсальный набор | набор всех возможных значений | ||
| ℕ | набор натуральных / целых чисел (с нулем) | = {0,1,2,3,4, …} | 0 ∈ |
| ℕ 1 | набор натуральных / целых чисел (без нуля) | 1 = {1,2,3,4,5, …} | 6 ∈ 1 |
| ℤ | набор целых чисел | = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} | -6 ∈ |
| ℚ | набор рациональных чисел | = { x | x = a / b , a , b ∈ и b ≠ 0} | 2/6 ∈ |
| ℝ | набор реальных чисел | = { x | -∞ < х <∞} | 6.343434 ∈ |
| ℂ | набор комплексных чисел | = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} | 6 + 2 i ∈ |
Декартово произведение множеств
Основные операции над множествами
| 1) Дополнение: Дополнение множества A — множество, состоящее из всех элементов универсума, не принадлежащих A. |
|
| 2) Пересечение: Пересечение множеств A и B — множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно и A, и B. |
|
| 3) объединение: Объединение множеств A и B — множество, состоящее из элементов, принадлежащих хотя бы одному из указанных множеств. |
|
|
4) Дизъюнктивная сумма (симметрическая разность): Дизъюнктивная сумма множеств A и B — это множество, состоящее из элементов, принадлежащих либо только A, либо только B. |
|
| 5) Разность: Разность множеств A и B — это множество, состоящее из элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. |
Свойства операций над множествами
Операции над множествами, сформулированные в (1.4) обладают некоторыми свойствами, приведенными в табл. 1. Эти свойства выражаются совокупностью тождеств, справедливых независимо от конкретного содержания входящих в них множеств, являющихся подмножествами некоторого универсума U.
Таблица 1
Основные свойства операций над множествами
Тождества (1а)-(3а) выражают соответственно коммутативный, ассоциативный и дистрибутивный законы для объединения, а тождества (1б)-(3б) — те же законы для пересечения. Соотношения (4а)-(7а) определяют свойства пустого множества Æ и универсума U относительно объединения, а соотношения (4б)-(7б) — относительно пересечения.
Выражения (8а) и (8б), называемые законами идемпотентности, позволяют записывать формулы с множествами без коэффициентов и показателей степени. Зависимости (9а) и (9б) представляют законы поглощения, а (10а) и (10б) — законы де Моргана.
Соотношения (11)-(20) отражают свойства дополнения, разности, дизъюнктивной суммы, включения и равенства.
Первые десять свойств в табл. 1 представлены парами двойственных (дуальных) соотношений, одно из которых получается заменой в другом символов: È на Ç и Ç наÈ , а также Æ на U и U на Æ. Соответствующие пары символов È, Ç и Æ, U называются двойственными (дуальными) символами.
При замене в любой теореме входящих в нее символов дуальными получим новое предложение, которое также является теоремой (принцип двойственности или дуальности). Тождество (11) не изменяется при замене символов дуальными, поэтому его называют самодвойственным.
Декартово произведение множеств
Декартово произведение множеств A и B – это множество упорядоченных пар, первый элемент которых принадлежит A, а второй – принадлежит B.
Пример.
Свойства декартова произведения:
1) — некоммутативность
2) = — ассоциативность
Свойство ассоциативности позволяет использовать сокращенную запись для декартова произведения нескольких множеств:
3) — дистрибутивность относительно объединения
— дистрибутивность относительно пересечения
— дистрибутивность относительно разности
Доказательство: Докажем, например, дистрибутивность декартова произведения относительно операции пересечения множеств.
1) ;
2) , ,
Особым случаем декартова произведения является произведение множества самого на себя. В этом случае говорят о декартовом квадрате множества или декартовой n-ой степени множества А.
Пример. Þ
Теорема. Если множество A содержит n элементов, а B – m элементов, т.е.: , то содержит элементов.
Рекомендуемые страницы:
Тема 1.1.4 Декартово произведение множеств(1ч.) — Мегаобучалка
Запишем с пом. цифр 3 и 5 четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь, принято записывать, используя круглые скобки: {а; Ь). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b второй координатой (компонентой) пары.
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:
АхВ= {(х; у) | х А и у В}.
Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением.
Рассмотрим два одинаковых мн-ва А={3,5}, тогда АхА={(3;3),(3;5),(5;3),(5;5)}
Примечание:
Можно изобразить декартово произведение множеств :
1) при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = {1, 2, 3} и В = {3,5} можно представить так, как показано на рисунке :
2) Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) :
А) А = {1, 2, 3} и В= {3, 5} на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке:
Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В — на оси Оу.
Декартово произведение представлено точками.
б) ) А = {1, 2, 3} и В=
Решение, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение А х В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая -любое действительное число из промежутка . Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками
В) бесконечны оба множества А= и В= тогда АхВ это все, что внутри квадрата, т.е. этот квадрат (его нужно заштриховать):
Г) А=RиВ=R,т.е. на мн-ве действительных чисел. То АхВ это вся координатная плоскость.
Д) А=R и В=, то АхВ– полоса. (рис.)
Упражнения
1. Перечислите элементы декартова произведения А хВ, если:
а)А = {a, b,c,d},B= {b,k,l}
д)А=В= {а, Ь, с};
ъ)А = {а,Ь,с},В = 0.
2.Изобразите в прямоугольной системе координат множество Ах В, если:
а) А = , В ={2, 3,4};
2. Изобразите в прямоугольной системе координат декартово произведение множеств и , если
1)
2)
Примеры использования в теории множеств и алгебре
Декартово произведение наиболее часто применяется в теории множеств и алгебре, где оно позволяет строить новые множества на основе двух или более исходных множеств.
В теории множеств декартово произведение двух множеств A и B определяется как множество всех упорядоченных пар (a, b), где a принадлежит множеству A, а b принадлежит множеству B. Обозначается декартово произведение множеств A и B как A × B.
Пример использования в теории множеств:
- Пусть A = {1, 2} и B = {a, b, c}. Тогда декартово произведение A × B будет равно {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}. Это множество будет содержать все возможные комбинации элементов из множеств A и B.
- Декартово произведение множеств можно вычислять не только для двух множеств, но и для более чем двух. Например, пусть A = {x, y} и B = {0, 1}, C = {A, B}. Тогда декартово произведение A × B × C будет содержать 12 элементов: {(x, 0, A), (x, 0, B), (x, 1, A), (x, 1, B), (y, 0, A), (y, 0, B), (y, 1, A), (y, 1, B), (x, 0, C), (x, 1, C), (y, 0, C), (y, 1, C)}. Здесь каждый элемент пары включает элементы из всех трех множеств A, B и C.
В алгебре декартово произведение множеств используется для определения операций на множествах и алгебраических структурах, таких как кольца и алгебры. Например, декартово произведение множеств A и B может быть использовано для определения произведения многочленов, где каждый коэффициент многочлена представлен парой элементов из множеств A и B.
Пример использования в алгебре:
- Пусть A = {0, 1} и B = {a, b}. Тогда декартово произведение A × B может быть использовано для определения множества всех возможных пар (a, b), где a — элемент из A, а b — элемент из B. Это можно использовать для определения операции на множестве всех пар (a, b), например, сложения или умножения.
- Декартово произведение множеств также может быть использовано для определения операции на множестве всех упорядоченных n-кортежей. Например, декартово произведение множеств A = {x, y, z} и B = {0, 1} может быть использовано для определения операции сложения двух трехмерных векторов.
Таким образом, декартовое произведение играет важную роль в теории множеств и алгебре, позволяя строить новые множества и определять операции на этих множествах.
1.5. Декартово произведение множеств
Пусть
даны два произвольных непустых множества
и,
элементы которых мы будем обозначать,.
Определение. Прямым
произведением (или декартовым
произведением)
двух непустых множеств
называется множество упорядоченных
пар,
где,.
Упорядоченность пары означает, что если
мы будет рассматривать декартово
произведение,
то соответствующая пара будет иметь
вид,
где,.
В
частности, декартово произведение
множества действительных чисел на себя
представляет собой множество всевозможных
упорядоченных пар действительных чисел.
Пример
1. Даны множества
и.
Найдите множестваи,и соответствующие мощности.
Решение
Найдем
мощность:
.
Пример
2. Даны множества
,,.Найдите
число элементов декартова произведения
множеств
и укажите эти элементы.
Решение
Найдем
пересечение множеств
,
содержащее общие элементы обоих множеств:.
Так как множествосодержит четыре элемента, а множество– два элемента, то количество
соответствующих пар декартова произведения
будет.
Перечислим всевозможные пары:,,,,,,,.
Пример
3. Даны множества
и.
Найдите и изобразите на координатной
плоскости.
Решение
В
соответствии с определением декартова
произведения
– множество точек, расположенных в
квадрате с вершинами,,и(рис.
10).
Понятие
декартова произведения можно обобщить
на случай
множеств. Если– произвольные непустые множества, то
их декартово произведениесостоит из всевозможных упорядоченных
наборов,
где,,
…,.
Рис.
10
Замечание. Если
– конечные множества, то
.
Декартово
произведение множеств само является
множеством, и поэтому к нему применимы
все изученные ранее способы задания и
операции.
Вопросы
и задачи для самостоятельного решения
-
Дайте
определение декартова произведения
множеств. -
Пусть
и.
Найдите множества,,и соответствующие мощности. -
-
Декартово
произведение имеет вид
.
Тогда чему равны множества и
?
1.6. Бинарные отношения. Свойства бинарных отношений
Определение
1. Бинарным
отношением на множествахиназывается любое подмножество декартова
произведения множестви:.
При этом множествоназываютобластью
определения отношения
,
а множество–областью
значений.
Если
элементы
имножествинаходятся в отношении,
то пишут,
или.
Если,
тоназывается
бинарным отношением на.
Например:
а)
если
,
тогда записьозначает, чтои
в качестве обозначения этого отношения
можно взять сам символ «≤». Множество
определения и множество значений
совпадают с множеством натуральных
чисел;
б)
если
– множество товаров в магазине, а– множество целых положительных чисел
из некоторого диапазона, то – отношение множеств
и.
Множество определения – товары в
магазине, а множество значений –
действительные числа, каждое из которых
совпадает с ценой некоторого товара;
c)
если
– множество действительных чисел, тоесть бинарное отношение – точки
плоскости, лежащие внутри или на границе
круга радиуса 2 с центром в начале
координат. Множество определенияи
множество значений
.
Свойства
бинарных отношений
1. Бинарное
отношение
на
множестверефлексивное,
если для всякого
выполняется.
2. Бинарное
отношение
на множествеантирефлексивное,
если для любых
и,
для которых выполнено,
следует, что.
3. Бинарное отношение
на множествесимметричное,
если из выполнения
следует, что,
т. е. из принадлежности отношению
парыследует принадлежность этому отношению
также пары.
4. Бинарное
отношение
на множествеантисимметричное,
если из выполнения
иследует,
что
.
5. Бинарное
отношение
на множестветранзитивное,
если из выполнения
иследует выполнение.
Определение
2. Рефлексивное, симметричное и транзитивное
отношение
на множественазываетсяотношением
эквивалентности.
Определение
3.
Рефлексивное, антисимметричное и
транзитивное отношение
на множественазываетсяотношением
нестрогого порядка.
Определение
4. Антирефлексивное, антисимметричное и
транзитивное отношение
на множественазываетсяотношением
строгого порядка.
Пример. Проверьте,
какими свойствами обладает отношение
(т.е.
кратно трем).
Решение:
а)
рефлексивность: для
инеобходимо показать, что.
Действительно,
отношение рефлексивно;
б)
симметричность: для
инеобходимо показать, что.
Обозначим
,
подставим:
отношение
симметрично;
в)
транзитивность: для
и,необходимо показать, что.
Обозначим
,
и, подставим:
отношение
транзитивно.
Так
как отношение рефлексивно, симметрично
и транзитивно, следовательно, оно
является отношением эквивалентности.
Вопросы
и задачи для самостоятельного решения
1.
Какие отношения называют отношением
эквивалентности, отношением нестрогого
порядка, отношением строгого порядка?
2.
Найдите область определения и множество
значений отношений:
а)
;
б)
.
3.
Даны множества
и.
Найдите количество пар, удовлетворяющих
бинарному отношению.
Выводы и перспективы использования декартового произведения
Декартово произведение, также известное как карточное произведение или прямое произведение, представляет собой множество, состоящее из всех возможных упорядоченных пар элементов из двух исходных множеств. Это мощный инструмент в теории множеств и математической логике, который имеет применения в различных областях.
Важные выводы:
- Декартово произведение позволяет комбинировать элементы из двух исходных множеств, что может быть полезно при анализе и моделировании различных ситуаций.
- Оно может быть использовано для создания таблиц или сеток, в которых каждая ячейка представляет собой упорядоченную пару элементов из двух исходных множеств.
- Декартово произведение может быть использовано для построения графиков и диаграмм, где каждая точка на графике представляет собой упорядоченную пару элементов из двух исходных множеств.
- Оно может предоставить новые способы решения задач в комбинаторике, теории вероятностей и других областях математики.
Потенциальные перспективы использования:
- В информатике и компьютерных науках декартово произведение может быть использовано для реализации алгоритмов поиска, сортировки и фильтрации данных.
- В экономике и бизнесе декартово произведение может быть использовано для анализа комбинаций рыночных условий и разработки оптимальных стратегий.
- В физике и инженерии декартово произведение может быть использовано для описания многомерных пространств и моделирования сложных систем.
- В социальных науках декартово произведение может быть использовано для анализа социальных сетей, связей между людьми и прогнозирования поведения.
Таким образом, декартовое произведение является важным понятием в математике и имеет широкий спектр применений. Его использование может помочь в решении различных задач и развитии новых методов исследования.